线性代数

向量点乘

内积 数量积

$\vec{a}$·$\vec{b}$ = $x_1 x_2$ + $y_1y_2$ + $z_1z_2$= |$\vec{a}$||$\vec{b}$|cosθ

标量结果 一个向量在另一个向量方向的投影与被投影向量模的乘积

几何意义 对于单位向量 点乘结果取决于向量方向夹角 反映了方向的一致性

向量叉乘

外积 向量积

名字由来是坐标分量做交叉相乘然后相减的操作

$$\vec{a} × \vec{b} = \left[ \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{matrix} \right] × \left[ \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} y_1z_2 - z_1y_2 \\ z_1x_2 - x_1z_2 \\ x_1y_2 - x_2y_1 \end{matrix} \right]$$

方向垂直与向量所在平面 符合右手法则

几何意义 叉乘结果的正负可以反映方向关系
$\vec{a}$ × $\vec{b}$ > 0 ，$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 右侧

$\vec{a}$ × $\vec{b}$ < 0 ，$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 左侧

正交矩阵

$$R^TR=I 即 R^T=R^{-1}$$

共轭变换

$$A^′=P^{−1}AP$$

特征值、特征向量

对于一个 n 阶方阵 A，如果存在一个实数 λ 和一个非零的 n 维列向量 x，使得满足等式 Ax = λx，则称：

• λ 为矩阵 A 的一个特征值（或本征值）。
• x 为矩阵 A 对应于特征值 λ 的一个特征向量（或本征向量）。

其几何意义在于向量x经过A变换 其方向没有改变(或者仅正负颠倒)

在空间运动中 向量x是空间变换A的旋转轴

近似解 最小二乘法

方程组过定（无精确解）时，用一个矩阵 X 去让误差平方和最小

AX ≈ B

正规方程

$$A^TAX=A^TB$$ $$X=(A^TA)^{-1}A^TB$$

SVD