计算机图形学

仿射变换：位移缩放旋转错切(单一方向等比例缩放)

仿射变换前后保持一致的“平直行” 即直线变换后仍然为直线相互平行的关系变换后仍然平行

齐次坐标是解决仿射变换中“平移无法用矩阵乘法表示”这一问题的关键。

在二维空间中，一个笛卡尔坐标点 $(x, y)$ 对应的齐次坐标是一个三元组 $(x, y, 1)$。

使用齐次坐标的二维变换矩阵
现在，所有变换都可以表示为 $3 \times 3$ 矩阵：

平移: $T(t_x, t_y) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
缩放: $S(s_x, s_y) = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
旋转: $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
组合变换:
变换的顺序至关重要（通常不满足交换律）。例如，先缩放后旋转，与先旋转后缩放结果不同。
要表示“先变换 $A$，再变换 $B$”，最终的变换矩阵为 $M = B \cdot A$。
例如，绕一个任意点 $(c_x, c_y)$ 旋转：
1. 平移至原点: $T(-c_x, -c_y)$
2. 绕原点旋转: $R(\theta)$
3. 平移回去: $T(c_x, c_y)$
  总变换矩阵 $M = T(c_x, c_y) \cdot R(\theta) \cdot T(-c_x, -c_y)$。

笛卡尔坐标点 $(x, y, z)$ 的齐次坐标为 $(x, y, z, 1)$。

所有变换都由一个 $4 \times 4$ 的矩阵表示。

沿 $x, y, z$ 轴分别移动 $t_x, t_y, t_z$。

$T(t_x, t_y, t_z) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

在 $x, y, z$ 轴方向分别缩放 $s_x, s_y, s_z$。

$S(s_x, s_y, s_z) = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

旋转比二维复杂，因为需要指定旋转轴。我们使用右手坐标系。

绕 X 轴旋转 $\theta$ (Pitch): $R_x(\theta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
绕 Y 轴旋转 $\theta$ (Yaw): $R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
绕 Z 轴旋转 $\theta$ (Roll): $R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
组合变换
与二维相同，组合变换通过矩阵乘法实现，且顺序至关重要。例如，一个常见的场景相机的视图变换可以表示为 T * R * S 的形式，具体取决于实现方式。

旋转矩阵的转置即逆矩阵，这种矩阵为正交矩阵